Данный видеоурок предназначен для самостоятельного ознакомления с темой «Закон сохранения механической энергии». Вначале дадим определение полной энергии и замкнутой системы. Затем сформулируем Закон сохранения механической энергии и рассмотрим, в каких областях физики можно его применять. Также мы дадим определение работы и научимся её определять, рассмотрев связанные с ней формулы.
Темой урока является один из фундаментальных законов природы - закон сохранения механической энергии .
Мы ранее говорили о потенциальной и кинетической энергии, а также о том, что тело может обладать вместе и потенциальной, и кинетической энергией. Прежде чем говорить о законе сохранения механической энергии вспомним, что такое полная энергия. Полной механической энергией называют сумму потенциальной и кинетической энергий тела.
Также вспомним, что называют замкнутой системой. Замкнутая система - это такая система, в которой находится строго определенное количество взаимодействующих между собой тел и никакие другие тела извне на эту систему не действуют.
Когда мы определились с понятием полной энергии и замкнутой системы, можно говорить о законе сохранения механической энергии. Итак, полная механическая энергия в замкнутой системе тел, взаимодействующих друг с другом посредством сил тяготения или сил упругости (консервативных сил), остается неизменной при любом движении этих тел.
Мы уже изучали закон сохранения импульса (ЗСИ):
Очень часто случается так, что поставленные задачи можно решить только с помощью законов сохранения энергии и импульса.
Рассмотреть сохранение энергии удобно на примере свободного падения тела с некоторой высоты. Если некоторое тело находится в состоянии покоя на некоторой высоте относительно земли, то это тело обладает потенциальной энергией. Как только тело начинает свое движение, высота тела уменьшается, уменьшается и потенциальная энергия. При этом начинает нарастать скорость, появляется энергия кинетическая. Когда тело приблизилось к земле, то высота тела равна 0, потенциальная энергия тоже равна 0, а максимальной будет являться кинетическая энергия тела. Вот здесь и просматривается превращение потенциальной энергии в кинетическую (рис. 1). То же самое можно сказать о движении тела наоборот, снизу вверх, когда тело бросают вертикально вверх.
Рис. 1. Свободное падение тела с некоторой высоты
Дополнительная задача 1. «О падении тела с некоторой высоты»
Задача 1
Условие
Тело находится на высоте от поверхности Земли и начинает свободно падать. Определите скорость тела в момент соприкосновения с землей.
Решение 1:
Начальная скорость тела . Нужно найти .
Рассмотрим закон сохранения энергии.
Рис. 2. Движение тела (задача 1)
В верхней точке тело обладает только потенциальной энергией: . Когда тело приблизится к земле, то высота тела над землей будет равна 0, а это означает, что потенциальная энергия у тела исчезла, она превратилась в кинетическую:
Согласно закону сохранения энергии можем записать:
Масса тела сокращается. Преобразуя указанное уравнение, получаем: .
Окончательный ответ будет: . Если подставить все значение, то получим:.
Ответ: .
Пример оформления решения задачи:
Рис. 3. Пример оформления решения задачи № 1
Данную задачу можно решить еще одним способом, как движение по вертикали с ускорением свободного падения.
Решение 2 :
Запишем уравнение движения тела в проекции на ось :
Когда тело приблизится к поверхности Земли, его координата будет равна 0:
Перед ускорением свободного падения стоит знак «-», поскольку оно направлено против выбранной оси .
Подставив известные величины, получаем, что тело падало на протяжении времени . Теперь запишем уравнение для скорости:
Полагая ускорение свободного падения равным получаем:
Знак минус означает, что тело движется против направления выбранной оси.
Ответ: .
Пример оформления решения задачи № 1 вторым способом.
Рис. 4. Пример оформления решения задачи № 1 (способ 2)
Также для решения данной задачи можно было воспользоваться формулой, которая не зависит от времени:
Конечно, нужно отметить, что данный пример мы рассмотрели с учетом отсутствия сил трения, которые в реальности действуют в любой системе. Обратимся к формулам и посмотрим, как записывается закон сохранения механической энергии:
Дополнительная задача 2
Тело свободно падает с высоты . Определите, на какой высоте кинетическая энергия равна трети потенциальной ().
Рис. 5. Иллюстрация к задаче № 2
Решение:
Когда тело находится на высоте , оно обладает потенциальной энергией, и только потенциальной. Эта энергия определяется формулой: 
.
Это и будет полная энергия тела.
Когда тело начинает двигаться вниз, уменьшается потенциальная энергия, но вместе с тем нарастает кинетическая. На высоте, которую нужно определить, у тела уже будет некоторая скорость V. Для точки, соответствующей высоте h, кинетическая энергия имеет вид:
Потенциальная энергия на этой высоте будет обозначена следующим образом: 
.
По закону сохранения энергии, у нас полная энергия сохраняется. Эта энергия 
остается величиной постоянной. Для точки мы можем записать следующее соотношение: (по З.С.Э.).
Вспоминая, что кинетическая энергия по условию задачи составляет , можем записать следующее: .
Обратите внимание: масса и ускорение свободного падения сокращается, после несложных преобразований мы получаем, что высота, на которой такое соотношение выполняется, составляет .
Ответ:
Пример оформления задачи 2.
Рис. 6. Оформление решения задачи № 2
Представьте себе, что тело в некоторой системе отсчета обладает кинетической и потенциальной энергией. Если система замкнутая, то при каком-либо изменении произошло перераспределение, превращение одного вида энергии в другой, но полная энергия остается по своему значению той же самой (рис. 7).
Рис. 7. Закон сохранения энергии
Представьте себе ситуацию, когда по горизонтальной дороге движется автомобиль. Водитель выключает мотор и продолжает движение уже с выключенным мотором. Что в этом случае происходит (рис. 8)?
Рис. 8. Движение автомобиля
В данном случае автомобиль обладает кинетической энергией. Но вы прекрасно знаете, что с течением времени автомобиль остановится. Куда девалась в этом случае энергия? Ведь потенциальная энергия тела в данном случае тоже не изменилась, она была какой-то постоянной величиной относительно Земли. Как произошло изменение энергии? В данном случае энергия пошла на преодоление сил трения. Если в системе встречается трение, то оно также влияет на энергию этой системы. Посмотрим, как записывается в данном случае изменение энергии.
Изменяется энергия, и это изменение энергии определяется работой против силы трения. Определить работу силы трения мы можем с помощью формулы, которая известна из 7 класса (сила и перемещение направлены противоположно):
Итак, когда мы говорим об энергии и работе, то должны понимать, что каждый раз мы должны учитывать и то, что часть энергии расходуется на преодоление сил трения. Совершается работа по преодолению сил трения. Работа является величиной, которая характеризует изменение энергии тела.
В заключение урока хотелось бы сказать, что работа и энергия по сути своей связанные величины через действующие силы.
Дополнительная задача 3
Два тела - брусок массой и пластилиновый шарик массой - движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями (). После столкновения пластилиновый шарик прилип к бруску, два тела продолжают движение вместе. Определить, какая часть механической энергии превратилась во внутреннюю энергию этих тел, с учетом того что масса бруска в 3 раза больше массы пластилинового шарика ().
Решение:
Изменение внутренней энергии можно обозначить . Как вы знаете, существует несколько видов энергии. Кроме механической, существует еще и тепловая, внутренняя энергия.
Во всех явлениях, происходящих в природе, энергия не возникает и не исчезает. Она только превращается из одного вида в другой, при этом ее значение сохраняется.
Закон сохранения энергии - фундаментальный закон природы, заключающийся в том, что для изолированной физической системы может быть введена скалярная физическая величина, являющаяся функцией параметров системы и называемая энергией, которая сохраняется с течением времени. Поскольку закон сохранения энергии относится не к конкретным величинам и явлениям, а отражает общую, применимую везде и всегда, закономерность, то его можно именовать не законом, а принципом сохранения энергии.
Закон сохранения энергии
В электродинамике закон сохранения энергии исторически формулируется в виде теоремы Пойтинга.
Изменение электромагнитной энергии, заключенной в неком объеме, за некий интервал времени равно потоку электромагнитной энергии через поверхность, ограничивающую данный объем, и количеству тепловой энергии, выделившейся в данном объеме, взятой с обратным знаком.
$ \frac{d}{dt}\int_{V}\omega_{em}dV=-\oint_{\partial V}\vec{S}d\vec{\sigma}-\int_V \vec{j}\cdot \vec{E}dV $
Электромагнитное поле обладает энергией, которая распределяется в пространстве, занятом полем. При изменении характеристик поля меняется и распределение энергии. Она перетекает из одной области пространства в другую, переходя, возможно, в другие формы. Закон сохранения энергии для электромагнитного поля является следствием полевых уравнений.
Внутри некоторой замкнутой поверхности S, ограничивающей объем пространства V , занятого полем, содержится энергия W — энергия электромагнитного поля:
W = Σ(εε 0 E i 2 / 2 + μμ 0 H i 2 / 2) ΔV i .
Если в этом объеме имеются токи, то электрическое поле производит над движущимися зарядами работу, за единицу времени равную
N = Σ i j̅ i ×E̅ i . ΔV i .
Это величина энергии поля, которая переходит в другие формы. Из уравнений Максвелла следует, что
ΔW + NΔt = -Δt ∮ S S̅ × n̅ . dA,
где ΔW — изменение энергии электромагнитного поля в рассматриваемом объеме за время Δt, а вектор S̅ = E̅ × H̅ называется вектором Пойнтинга .
Это закон сохранения энергии в электродинамике .
Через малую площадку величиной ΔA с единичным вектором нормали n̅ за единицу времени в направлении вектора n̅ протекает энергия S̅ × n̅ . ΔA, где S̅ — значение вектора Пойнтинга в пределах площадки. Сумма этих величин по всем элементам замкнутой поверхности (обозначена знаком интеграла), стоящая в правой части равенства , представляет собой энергию, вытекающую из объема, ограниченного поверхностью, за единицу времени (если эта величина отрицательна, то энергия втекает в объем). Вектор Пойнтинга определяет поток энергии электромагнитного поля через площадку, он отличен от нуля всюду, где векторное произведение векторов напряженности электрического и магнитного полей отлично от нуля.
Можно выделить три главных направления практического применения электричества: передача и преобразование информации (радио, телевидение, компьютеры), передача импульса и момента импульса (электродвигатели), преобразование и передача энергии (электрогенераторы и линии электропередачи). И импульс, и энергия переносятся полем через пустое пространство, наличие среды приводит лишь к потерям. Энергия не передается по проводам! Провода с током нужны для формирования электрического и магнитного полей такой конфигурации, чтобы поток энергии, определяемый векторами Пойнтинга во всех точках пространства, был направлен от источника энергии к потребителю. Энергия может передаваться и без проводов, тогда ее переносят электромагнитные волны. (Внутренняя энергия Солнца убывает, уносится электромагнитными волнами, в основном светом. Благодаря части этой энергии поддерживается жизнь на Земле.)
Закон сохранения энергии
В механике закон сохранения энергии утверждает, что в замкнутой системе частиц, полная энергия, которая является суммой кинетической и потенциальной энергии и не зависит от времени, то есть является интегралом движения. Закон сохранения энергии справедлив только для замкнутых систем, то есть при отсутствии внешних полей или взаимодействий.
Силы взаимодействия между телами, для которых выполняется закон сохранения механической энергии называются консервативными силами. Закон сохранения механической энергии не выполняется для сил трения, поскольку при наличии сил трения происходит преобразование механической энергии в тепловую.
Математическая формулировка
Эволюция механической системы материальных точек с массами \(m_i\) по второму закону Ньютона удовлетворяет системе уравнений
\[ m_i\dot{\mathbf{v}_i} = \mathbf{F}_i \]
где
\(\mathbf{v}_i \)
— скорости материальных точек, а \(\mathbf{F}_i \)
— силы, действующие на эти точки.
Если подать силы, как сумму потенциальных сил \(\mathbf{F}_i^p \) и непотенциальных сил \(\mathbf{F}_i^d \) , а потенциальные силы записать в виде
\[ \mathbf{F}_i^p = - \nabla_i U(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots \mathbf{r}_N) \]
то, домножив все уравнения на \(\mathbf{v}_i \) можно получить
\[ \frac{d}{dt} \sum_i \frac{mv_i^2}{2} = - \sum_i \frac{d\mathbf{r}_i}{dt}\cdot \nabla_i U(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots \mathbf{r}_N) + \sum_i \frac{d\mathbf{r}_i}{dt} \cdot \mathbf{F}_i^d \]
Первая сумма в правой части уравнения является ни чем иным, как производной по времени от сложной функции, а следовательно, если ввести обозначения
\[ E = \sum_i \frac{mv_i^2}{2} + U(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots \mathbf{r}_N) \]
и назвать эту величину механической энергией , то, интегрируя уравнения с момента времени t=0 до момента времени t, можно получить
\[ E(t) - E(0) = \int_L \mathbf{F}_i^d \cdot d\mathbf{r}_i \]
где интегрирование проводится вдоль траекторий движения материальных точек.
Таким образом, изменение механической энергии системы материальных точек со временем равно работе непотенциальных сил.
Закон сохранения энергии в механике выполняется только для систем, в которых все силы потенциальные.
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
При имеющейся замкнутой механической системе тела взаимодействуют посредством сил тяготения и упругости, тогда их работа равняется изменению потенциальной энергии тел с противоположным знаком:
A = – (E р 2 – E р 1) .
Следуя из теоремы о кинетической энергии, формула работы примет вид
A = E k 2 - E k 1 .
Отсюда следует, что
E k 2 - E k 1 = – (E р 2 – E р 1) или E k 1 + E p 1 = E k 2 + E p 2 .
Определение 1Сумма кинетической и потенциальной энергии тел , составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой посредством сил тяготения и сил упругости, остается неизменной .
Данное утверждение выражает закон сохранения энергии в замкнутой системе и в механических процессах, являющийся следствием законов Ньютона.
Определение 2
Закон сохранения энергии выполняется при взаимодействии сил с потенциальными энергиями в замкнутой системе.
Пример N
Примером применения такого закона служит нахождение минимальной прочности легкой нерастяжимой нити, которая удерживает тесло с массой m , вращая его вертикально относительно плоскости (задачи Гюйгенса). Подробное решение изображено на рисунке 1 . 20 . 1 .
Рисунок 1 . 20 . 1 . К задаче Гюйгенса, где F → принимается за силу натяжения нити в нижней точке траектории.
Запись закона сохранения полной энергии в верхней и нижней точках принимает вид
m v 1 2 2 = m v 2 2 2 + m g 2 l .
F → располагается перпендикулярно скорости тела, отсюда следует вывод, что она не совершает работу.
Если скорость вращения минимальная, то натяжение нити верхней точке равняется нулю, значит, центростремительное ускорение может быть сообщено только при помощи силы тяжести. Тогда
m v 2 2 l = m g .
Исходя из соотношений, получаем
v 1 m i n 2 = 5 g l .
Создание центростремительного ускорения производится силами F → и m g → с противоположными направлениями относительно друг друга. Тогда формула запишется:
m v 1 2 2 = F - m g .
Можно сделать вывод, что при минимальной скорости тела в верхней точке натяжение нити будет равняться по модулю значению F = 6 m g .
Очевидно, что прочность нити обязана превышать значение.
С помощью закона сохранения энергии посредством формулы можно получить связь между координатами и скоростями тела в двух разных точках траектории, не используя анализ закона движения тела во всех промежуточных точках. Данный закон позволяет заметно упрощать решение задач.
Реальные условия для движущихся тел предполагают действия сил тяготения, упругости, трения и сопротивления данной среды. Работа силы трения зависит от длины пути, поэтому она не является консервативной.
Определение 3Между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, тогда механическая энергия не сохраняется, ее часть переходит во внутреннюю. Любые физические взаимодействия не провоцируют возникновение или исчезновение энергии. Она переходит из одной формы в другую. Данный факт выражает фундаментальный закон природы – закон сохранения и превращения энергии .
Следствием является утверждение о невозможности создания вечного двигателя (perpetuum mobile) – машины, которая совершала бы работу и не расходовала энергию.
Рисунок 1 . 20 . 2 . Проект вечного двигателя. Почему данная машина не будет работать?
Существует большое количество таких проектов. Они не имеют право на существование, так как при расчетах отчетливо видны одни ошибки конструкций всего прибора, другие замаскированы. Попытки реализовать такую машину тщетны, так как они противоречат закону сохранения и превращения энергии, поэтому нахождение формулы не даст результатов.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Энегрия - наиболее универсальная величина для описания физических явлений.Энергия - максимальное количество работы, которое способно совершить тело.
Есть несколько видов энергии. Например, в механике:
Потенциальная энергия тяготения,
определяется высотой h
.
- Потенциальная энергия упругой деформации,
определяется величиной деформации х
.
- Кинетическая энергия - энергия движения тел,
определяется скоростью тела v
.
Энергия может передаваться от одних тел к другим, а также превращаться из одного вида в другой.
- Полная механическая энергия.
Закон сохранения энергии
: в замкнутой
системе тел полная энергия не изменяется
при любых взаимодействиях внутри этой системы тел. Закон накладывает ограничения на протекание процессов в природе. Природа не допускает появление энергии ниоткуда и исчезание в никуда. Возможно оказывается только так: сколько одно тело теряет энергии, столько другое приобретает; сколько убывает одного вида энергии, столько к другому виду прибавляется.
В механике для определения видов энергии необходимо обратить внимание на три величины: высоту
подъема тела над Землей h,
деформацию х
, скорость
тела v
.
Закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем:
Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами.
Закон сохранения механической энергии можно сформулировать так: в консервативных системах полная механическая энергия сохраняется.
Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени. Однородность времени проявляется в том, что физические законы инвариантны относительно выбора начала отсчета времени.
Существует еще один вид систем - диссипативные системы , в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации (или рассеяния) энергии .
В консервативных системах полная механическая энергия остается постоянной. Могут происходить лишь превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах так, что полная энергия остается неизменной.
Этот закон не есть просто закон количественного сохранения энергии, а закон сохранения и превращения энергии, выражающий и качественную сторону взаимного превращения различных форм движения друг в друга.
Закон сохранения и превращения энергии - фундаментальный закон природы , он справедлив как для систем макроскопических тел, так и для систем микротел.
В системе, в которой действуют также неконсервативные силы , например, силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется . Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида.
14. Момент инерции твердого тела. Момент импульса. Теорема Штейнера.
Моментом
инерции
системы
(тела) относительно данной оси называется
физическая величина, равная сумме
произведений масс n материальных точек
системы на квадраты их расстоянии до
рассматриваемой оси: 
Суммирование производится по всем элементарным массам m, на которые разбивается тело.
В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу: где интегрирование производится по всему объему тела.
Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z. Момент инерции - величина аддитивная : момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей тела относительно той же оси.
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера :
момент
инерции тела J относительно произвольной
оси равен моменту его инерции Jс
относительно параллельной оси, проходящей
через центр масс С тела, сложенному с
произведением массы тела на квадрат
расстояния а между осями:
Примеры моментов инерции некоторых тел (тела считаются однородными, m - масса тела):
Моментом
импульса (количества движения)
материальной точки А относительно
неподвижной точки О называется физическая
величина, определяемая векторным
произведением:
где r - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А;
р = mv - импульс материальной точки;
L - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к.
Модуль вектора момента импульса:
где а - угол между векторами r и р;
l - плечо вектора р относительно точки О.
Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса Lz не зависит от положения точки О на оси z.
При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса r, с некоторой скоростью Vi. Скорость Vi и импульс mV перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом вектора . Поэтому момент импульса отдельной частицы равен:
Момент
импульса твердого тела
относительно оси есть сумма моментов
импульса отдельных частиц:
Используя формулу получим, что момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость:
| " |
